Главная
страница 1
скачать файл
Пусть функция f(x, y) определена для x, принадлежащих сегменту [a, b], и для y, принадлежащих некоторому множеству {y} =Y. Допустим, что при каждом фиксированном y из Y функция f(x, y) интегрируема по [a, b]. Тогда на множестве Y определена функция I(y)=, называемая интегралом, зависящим от параметра.

Теорема (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция f(x, y) дифференцируемы на сегменте [c, d]. Тогда интеграл I(y)= дифференцируем по y на [c, d] и справедливо равенство



Опр. Функция F(x, y) стремится равномерно относительно y на множестве X к функции G(y) при x→+∞, если для любого ε>0 найдется такое число x0, что для любых x, принадлежащих X и удовлетворяющих условию x> x0, и для любых y из Y выполняется неравенство |F(x, y) – G(y)| <ε.


1. Теорема (о непрерывности собственного интеграла зависящего от параметра). Пусть функция f(x, y) непрерывна на прямоугольнике П, а функции a(y) и b(y) непрерывны на сегменте [c, d]. Тогда функция I(y)= непрерывна на [c, d]
2. Терема (о предельном переходе в собственном интеграле зависящем от параметра)Если функция f(x, y) при постоянном y непрерывна по x в [a, b] и при yy0 стремится к предельной функции φ(x) равномерно относительно x, то имеет место равенство
3. Теорема (о дифференцируемости собственного интеграла зависящего от параметра). Пусть функция f(x, y) непрерывна на прямоугольнике П и имеет нем непрерывную производную fy(x, y). Тогда функция I(y)= дифференцируема на [c, d] и I’(y)=

Иными словами, в условиях теоремы можно дифференцировать под знаком интеграла.


4. Теорема (об интегрируемости собственного интеграла зависящего от параметра). Если функция f(x, y) непрерывна на прямоугольнике П={a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то функция I(y)= интегрируема на сегменте [c, d]. Кроме того справедлива формула

.

Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла.


5. Пусть функция f(x, y) определена при всех x ≥ a, при всех y из множества Y и при каждом фиксированном y из Y интегрируема на [a, +∞], т.е. для каждого y из Y сходится интеграл , который называется несобственным интегралом зависящим от параметра.
6. Опр. Несобственный интеграл называется сходящимся равномерно по параметру y на множестве Y, если функция равномерно на множестве Y стремится к предельной функции I(y) при t→+∞.
7. (Критерий Коши) Для того, чтобы несобственный интеграл сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовало число t0 ≥ a, что при всех tи t”, превосходящих t0, и при всех y из Y было справедливо неравенство .
8. (Признак Вейерштрасса). Пусть при всех y из Y и всех x, принадлежащих полуоси [a1, ∞), где a1>a, для функции f(x, y) выполнено неравенство , где φ(x) – интегрируемая (в несобственном смысле) на [a, ∞) функция. Тогда интеграл сходится равномерно.
9. (Признак Дини)
10. (Признак Дирихле – Абеля) Если интеграл равномерно ограничен, т.е. при всех t>a и y из Y выполнено условие |F(t, y)| ≤ M, а g(x) ограничена и монотонно стремится к 0 при x→+∞, то интеграл сходится равномерно.
11. (теорема о непрерывности несобственного интеграла зависящего от параметра) Пусть функция f(x, y) непрерывна при x ≥ a и y из [c, d], а интеграл равномерно на [c, d] сходится. Тогда функция I(y) непрерывна на [c, d].
12. (теорема одифференцируемости несобственного интеграла зависящего от параметра)

Пусть функция f(x, y) и ее производная fy(x, y) непрерывны в области a ≤ x <∞, c ≤ y ≤ d. Пусть интеграл сходится в каждой точке сегмента [c, d], а интеграл сходится равномерно на сегменте [c, d]. Тогда при любом y из [c, d] функция I(y) имеет производную (при y=с правую, при y=d левую), причем



13. Формула Фруллани
14. (об интегрируемости несобственного интеграла зависящего от параметра).

Пусть функция f(x, y) непрерывна при x, принадлежащем полупрямой [a,∞), и при y, принадлежащем сегменту [c, d], и пусть интеграл равномерно сходится. Тогда функция I(y) интегрируема на [c, d] и имеет место формула


15. Интеграл Эйлера – Пуассона
16. Интеграл Лапласа
17. (??????????)Интегралы Френеля ;
18. Интеграл Дирихле
19. Г-функция. (Эйлеров интеграл второго рода). Интеграл вида, который сходится при любом a>0
20. B-функция. (Эйлеров интеграл первого рода). Интеграл вида , где a, b >0. Он представляет собой функцию от двух переменных параметров a и b. Интеграл сходится при a, b >0. Если хоть один из параметров <0, то интеграл расходится.
21. Свойства Г-функции

1) Функция Г(а), при всех значениях a>0, непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков.

2) (интегрирование по частям)

Г(а+1) = а·Г(а).

Г(n+1) = n!

3) (связь между функциями Г и В)



4) (формула дополнения)



5) (формула Лежандра)




22. Свойства В-функции

1) (подстановка x=1-t)

B(a, b) = B(b, a)

2) (интегрирование по частям)



(формулу есть смысл применять, чтобы b стало <1)

3) (подстановка x=y/(1+y) )



4) (связь между функциями Г и В)




23.
24.
25.
26.
27.
28.
скачать файл



Смотрите также:
1. Теорема о непрерывности собственного интеграла зависящего от параметра
43.28kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности
43.91kb.
Вопросы по математическому анализу
16.64kb.
Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса
22.29kb.
Законы сохранения электрического заряда. Теорема Гаусса (вывод)
31.78kb.
«Решение треугольников»
25.46kb.
Эффективные конструкции диофантовых приближений
15.94kb.
Parameter designation Наименование параметра Requirement as per drawing Требование по чертежу
74.72kb.
1 Основная теорема зацепления. Ее практическое применение
77.57kb.
1. Основные свойства фазовых траекторий линейного осциллятора при внешнем или параметрическом возбуждении (периодическом). Понятие резонанса
14.25kb.
Наименование, характеристики, параметры товара Требуемое значение, величина параметра технического задания
337.88kb.
Производные показательной и логарифмической функций
18.96kb.