Главная
страница 1
скачать файл
МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ

ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ КЕЛЬВИНА–ФОЙХТА

А.Н. Красненко


Сибирский федеральный университет, Институт математики

и фундаментальной информатики

660041, Красноярск, Россия

О.В. Садовская


Институт вычислительного моделирования СО РАН

660036, Красноярск, Россия

На основе метода расщепления по пространственным переменным решается задача определения скоростей и напряжений, вызванных импульсным воздействием на границе вязкоупругой среды Кельвина–Фойхта. Для двумерного случая разработан численный алгоритм, в котором задача сводится к решению серии одномерных задач теории вязкоупругости с определенным выбором направлений.

Уравнения динамики среды Кельвина–Фойхта записываются в терминах проекций вектора скорости на оси декартовой системы координат и компонент симметричных тензоров полных напряжений и упругих напряжений :



(1)



Здесь плотность, модуль объемного сжатия, модуль сдвига, вязкость. Система приводится к матричной форме:



(2)

где и .

Численное решение краевых задач для системы уравнений (1) строится на основе разностной схемы предиктор–корректор. На шаге корректор векторы и вычисляются явным образом по уравнениям, аппроксимирующим (2):

(3)



А.Н. Красненко, О.В. Садовская, 2013

На шаге предиктор при вычислении величин с полуцелыми индексами, отнесенных к граням ячеек, через основные величины, определенные в ячейках, аппроксимировались одномерные системы уравнений динамической теории упругости, записанные в терминах скоростей и напряжений:



Аппроксимация строилась по методу характеристик. Такой подход позволяет получить разностную схему, устойчивую при выполнении условия Куранта–Фридрихса–Леви для гиперболической системы уравнений линейной теории упругости. Схема неявная на шаге предиктор и реализуется с помощью метода скалярной трехточечной прогонки.

В одномерной задаче схема может быть получена на основе метода Иванова построения диссипативных разностных схем с контролируемой диссипацией энергии [1]. Для системы уравнений в безразмерной форме:

(4)

в соответствии с методом Иванова рассматривается расширенная система:



в которой и – вспомогательные функции, вообще говоря, отличные от и . Замыкающие уравнения записываются в виде:



(5)

где – неотрицательно определенная – матрица схемной диссипации с малыми коэффициентами, которая, в частности, может быть равной нулю. Для системы (4), (5) выполняется уравнение баланса энергии с диссипативным слагаемым, представляющим собой квадратичную форму с матрицей относительно производных от вспомогательных функций по переменной . При определенном выборе этой матрицы дискретный аналог расширенной системы уравнений является характеристической схемой.


а б

Рис.1. Профиль скорости: a) диссипативная схема, б) схема на сдвинутых сетках.

На основе одномерной схемы проводились тестовые расчеты задачи о распространении волны, вызванной действием П–образного импульса напряжения на правой границе полосы (рис. 1). Для сравнения задача решалась также с помощью разностной схемы второго порядка на сдвинутых сетках, построенной по принципу схемы Неймана–Рихтмайера [2]. Расчеты показали, что профили скоростей и напряжений диссипативной схемы (рис. 1а) практически монотонны – лишены паразитных осцилляций, которые характерны для схемы второго порядка (рис. 1б).

Проводилось сравнение численного решения задачи о распространении монохроматической волны в вязкоупругой среде с точным решением, которое показало, что погрешность схемы растет с увеличением частоты и с уменьшением шага по времени, оставаясь в пределах, соответствующих схеме первого порядка точности.

В двумерной постановке решалась задача Лэмба о мгновенном действии сосредоточенной силы на границе полуплоскости.

Заметим в заключение, что конечной целью данного исследования является разработка надежного вычислительного алгоритма для расчета течений сыпучей среды при наличии застойных зон в движущемся потоке [3]. Проведенные расчеты сдвиговых течений по схеме второго порядка точности выявили недостатки схемы, связанные с немонотонностью решений, которые препятствуют получению адекватных численных результатов.


Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-01-00053).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.

2. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials, Ser.: Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg – New York – Dordrecht – London: Springer, 2012.



скачать файл



Смотрите также:
А. Н. Красненко
47.61kb.