Главная
страница 1страница 2страница 3
скачать файл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. КОЗЬМЫ МИНИНА»


В.А. Глуздов

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

2013

Печатается по решению редакционно-издательского совета НГПУ им. Козьмы Минина



Глуздов В.А.
Основные алгебраические структуры: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению 050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика».

Введение
Подлежащий изучению раздел алгебры являет собой ее сердцевину, основу. Современные развитые алгебраические формы знания изучают т.н. алгебраические структуры. Это, прежде всего, группы, кольца, поля, векторные пространства. В настоящем разделе систематически изучаются основы первых двух из перечисленных структур. Алгебраической, общематематической базой развертывания содержания является теория множеств, бинарных отношений, теория матриц и определителей и, конечно, школьный курс математики.

Используются следующие обозначения:



С, R, Q, Z, N - множества, соответственно, комплексных, вещественных (действительных), рациональных, целых и натуральных (без нуля) чисел. Иногда удобно включать в состав натуральных чисел нуль. Тогда мы используем обозначение N ;

С*, R*, Q*, Z* - множества соответствующих чисел (см. выше) без нуля. Например, С* = С \ {0};

R , Q , Z - множества соответствующих (см. выше) положительных чисел.


Глава I. Элементы теории групп

§1. Определение, примеры, простейшие свойства групп
Определение. Группой называют непустое множество G вместе с заданной на этом множестве бинарной (групповой) операцией (G вместе с операцией - алгебраическая структура (G, )) , удовлетворяющей следующим требованиям (аксиомы группы): групповая операция

1. ассоциативна, т.е.
x,y,z G x (y z) = (x у) z (1)
2. имеет нейтральный элемент, т.е.
i G, x G i x = x i = x (2)
3. всякий элемент из G симметризуем относительно групповой операции, т.е.
x G х' G х х' = х' х = i (3)
Элемент x у называют композицией элементов x и у. Если, к тому же, групповая операция коммутативна, т.е.
x,y G x y = у х, (4)
то группу G называют коммутативной или абелевой (по имени норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802 – 1829 г.г.), систематически изучавшего такие группы).

Следствие. Элемент х' называют симметричным для х. Из равенства (3) непосредственно усматривается, что

(х') ' = х. (5)


Замечание. Исторически основы современной версии математического знания закладывались в Западной Европе, в средневековых европейских университетах, где науки преподавались на интернациональном для того времени латинском языке, послужившем основой для английского, французского, итальянского и многих других современных европейских языков. Отсюда и многие математические термины имеют латинское происхождение. Через латинский и современные западноевропейские языки математическая терминология вошла в другие языки, в частности в русский язык. С учетом этого становятся понятными не только русскоязычная версия большинства математических терминов, но и использумые, наиболее употребительные обозначения, часто являющиеся первыми буквами соответствующих терминов в латинской версии или в одном из современных европейских языков. Так, например, используемое для группы обозначение G - это первая буква английского слова Group - группа (ср. в немецком, например, - Gruppen). В этом контексте F - стандартное обозначение поля (англ. - field), буквой R обозначается кольцо (англ. – ring). В дальнейшем, намереваясь прояснить источник того или иного математического термина, понятия, обозначения мы будем апеллировать к английскому языку.

Очень часто в конкретных случаях групповая операция группы G называется одним из наиболее распространенных для этого терминов - сложением или умножением и соответственным образом обозначается: + или . При этом знак умножения, как правило, не пишется. Соответсвенно переименовываются и переобозначаются композиция элементов, нейтральный и симметричный элементы: сумма, нуль 0 и противоположный -х - для сложения и произведение, единица 1 и обратный х - для умножения. Для точного, однозначного понимания какое из этих названий выбрано для групповой операции, группу G называют соответственно аддитивной (англ. add – складывать, прибавлять, additive - относящийся к сложению) или мультипликативной (англ. multiply - умножать, multiplicative - относящийся к умножению). Для удобства и в общей теории групп часто прибегают к соглашению считать рассматриваемую группу мультипликативной.


Примеры групп. 1. Числовые группы - группы, образованные различными множествами чисел, как правило мультипликативные или аддитивные: так аддитивными являются группы С, R, Q, Z; мультипликативными - группы С*, R*, Q*, R , Q . Сюда же относится важный пример мультипликативной группы корней n-й степени из единицы:

G(n,1) = { С| = 1, n N} (6)

Все эти группы - абелевы.

2. Полная линейная группа n-го порядка над полем F - это мультипликативная группа невырожденных (обратимых) n-матриц с элементами из поля F:

GL(n,F) = {A M (F)| DetA ≠ 0} (7)


Здесь M (F) - множество всех квадратных n-матриц с элементами из поля F. При n > 1 группа GL(n,F) некоммутативна.

3. Симметрическая группа n-й степени S , где n N. Это группа подстановок n-й степени S (англ. substitute - подставлять, substitution – подстановка), т.е., мультипликативная группа биективных отображений множества первых n натуральных чисел (или любого n-элементного множества) на себя. Групповой операцией здесь является умножение подстановок, понимаемое как их композиция (суперпозиция) - последовательное их выполнение в предписанном порядке. При n > 2 симметрическая группа S некоммутативна.

4. Различные группы преобразований на плоскости: группа движений, группа подобий евклидовой плоскости и т.д.
Если группа G конечна, то число ее элементов называют ее порядком и обозначают |G| или OrG (англ. order – порядок). Так, в приведенных выше примерах конечными будут группы G(n,1) и S , причем OrG(n,1) = n, OrS = n!. В принципе групповую операцию конечной группы можно задать (представить) квадратной таблицей, где слева по вертикали и вверху по горизонтали выписаны все элементы рассматриваемой конечной группы G. Выбирая первый элемент в вертикали, а второй - в горизонтали, на их пересечении выписывают их композицию. Такую таблицу, задающую групповую операцию, называют таблице Кэли (Кэли Артур (1821-1895) - английский математик, ввел в оборот такие таблицы) Так, например, считая конечную группу G = {a ,a ,…,a } мультипликативной, ее таблица Кэли в общем сучае будет устроена (выглядеть) следующим образом

a , a , ……….a ,………,a

a .

a .

. .

.

. .

a - - - - - - - - - a a (8)

.

.

.



a

В дальнейшем, если не оговорено иное, рассматриваемые группы считаются мультипликативными.


Теорема. В произвольной группе G:

1. единица единственна;

2. элемент, обратный данному, единственен;

3. если группа G не абелева, то
x,y G, (xy) = y x (9)
4. x,y,z G, xz = yz (или zx =zy) x=y (10)
Доказательство. 1. Допустим, что в группе G имеется по крайней мере две единицы - 1 и 1*. По аксиоме для единицы (равенство (2) определения группы) имеем, поочередно для 1 и 1*: 1 1* = 1* = 1, что и доказывает требуемое.

2. Пусть для некоторого a G найдено два обратных элемента - b и c. Следовательно, мы можем записать: ab =1 и са =1. Используя теперь равенства (3), мы, выполнив вполне очевидные преобразования, получим b = 1b= (ca)b = c(ab) = c1 = c, т.е b = c. Утверждение доказано.

3. Проверьте прямым вычислением, что элемент y x является обратным для ху.

4. Умножим обе части равенства xz = yz (zx =zy) справа (слева) на z и получим требуемое. Это свойство называют свойством сократимости равенства в группе соответственно справа или слева на один и тот же элемент.

§2. Подгруппы, примеры, критерий подгруппы
Определение. Говорят, что непустое подмножество H G группы G является ее подгруппой, если множество H само является группой относительно групповой операции исходной группы G. Тот факт, что H - подгруппа группы G мы будем обозначать так: H < G.
Пример. Подмножества E = {1}, G - подгруппы группы G (проверка - по определению - достаточно тривиальна). Эти подгруппы группы G назывют ее несобственными подгруппами.
Установить, будет ли H G подгруппой группы G, можно по определению. Часто, однако, удобнее пользоваться другим инструментом - критерием подгруппы.
Теорема (критерий подгруппы). Пусть H G – непустое подмножество группы G. Тогда
(H < G) ( x,y H, x y H) (1)
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место левая часть эквиваленции (1). Тогда, выбрав x,y H, мы, по третьей аксиоме группы (равенство (3) §1), получим, что x H, а значит и x y H, т.е., имеет место правая часть (1).

Достаточность. Пусть для непустого подмножества H G реализована правая часть (1). Выполним последовательно несколько логических шагов. Возьмем x H. Второй элемент у выберем равным х: у = х. Тогда правая часть (1) примет вид: x y = x х = 1 H. Следовательно, 1 H. Далее, по-прежнему выберем x H, а в качестве второго элемента у H возьмем 1 (ведь мы установили, что 1 H!). Следовательно, имеем право на утверждение: x 1 = x H. Итак, вместе с каждым элементом x H обратный ему x H. Выделим теперь x,y H. Мы знаем, что х H. Теперь для элементов x ,y H мы можем утверждать, что (x ) y = ху H. Итак, x,y H, ху H. Иными словами, подмножество H G замкнуто относительно групповой операции исходной группы G. Заметим, что это - результат третьего из заявленных шагов. Результаты первых двух - это фиксация выполнения для операции умножения на H второй и третьей аксиом группы. Выполнение первой аксиомы группы становится очевидным, ибо свойство ассоциативности групповой операции, реализованное на всей группе G, конечно же реализовано и на любой ее части, одной из которых является H. Теорема доказана.

Замечание. Обозначим через H H множество: H H = { x y| x,y H}. Тогда легко видеть, что логическая конструкция « x,y H, x y H» в правой части эквиваленции (1) идентична по смыслу теоретико-множественной конструкцией «H H H». Следовательно, критерий подгруппы (1) в иной - теоретико-множественной - редакции выглядит так:

(H (H H H) (2)


Приведем дополнительные примеры подгрупп, уже с использованием критерия подгруппы. На некоторых примерах, важных для дальнейшего, остановимся чуть подробнее. 1. Рассмотрим аддитивную группу Z. Возьмем произвольное m N. Обозначим через mZ множество всех целых чисел, кратных m: mZ = {mt| t Z}. Элементарно по критерию подгруппы устанавливается, что mZ < Z.

2. Рассмотрим полную линейную группу GL(n,F). Отберем из нее матрицы с единичным определитетем: SL(n,F) = {A GL(n,F)| DetA = 1} GL(n,F). Педантично применим к SL(n,F) критерий подгруппы. Зададимся произвольными матрицами A, B SL(n,F) (т.е., DetA = DetB =1). Согласно правой части (1), адаптированной к нашему примеру, нужно установить, что A B SL(n,F). Для этого необходимо найти Det(A B) и убедиться, что он равен 1 (характеристическое свойство матриц, составляющих SL(n,F)). Находим: Det(A B) = Det(A ) DetB = Det(A) DetB = 1 1 = 1. Итак, критерий удовлетворен, следовательно SL(n,F)
3. В симметрической группе S отберем подстановки со знаком «плюс»: А = { S | sign = 1} S (в обозначении А буква А - от англ. alternate – чередовать(ся)). Процедура применения к А критерия подгруппы формально не отличается от процедуры, реализованной в примере 2. Мы ее опускаем и сразу фиксируем, что А < S .

4. Группа G(n,1) является подгруппой группы C*: G(n,1) < C*.

5. Пусть G - произвольная группа и {H | H - любое семейство ее подгрупп, где индексы , помечающие подгруппы H , образуют некоторое множество А. По критерию подгруппы легко устанавливается, что ( H ) < G. Лингвистическая редакция этого свойства следующая: пересечение любого семейства подгрупп данной группы является ее подгруппой.


§3. Левая и правая смежности на группе, порожденные подгруппой. Классы смежности, их строение
Пусть в группе G выделена произвольная подгруппа H.

Определение. Бинарные отношения L и R на группе G, задаваемые посредством H соотношениями
xLy x y H

х,у G (1)

xRy xy H


называются, соответственно, левой (англ. left – левый) и правой (англ. right - правый) смежностями. Соответственно будем говорить, что (в группе G) элемент х лево или право смежен элементу у (по подгруппе H).
Комментарий. В соотношении (1) использован символ эквиваленции со значком вверху. Иногда мы будем пользоваться таким способом визуализации, формализации формулируемого или сформулированного перед этим определения (англ. definition – определение), понимая, что стоящий под знаком математический символ (в рассматриваемом случе это - эквиваленция) используется именно для определения, не доказательства.
Формулы (1) указывают, что в абелевой группе G при любом выборе ее подгруппы H смежности L и R совпадают: L = R. В противном случае совпадение смежностей - L = R - это особенность подгруппы H. Здесь же стоит указать на совпадение L и R, порождаемых несобственными подгруппами E = {1}и G произвольной группы G. В первом случае всякий х G лево (право) смежен только сам себе, а во втором - любые два элемента из G лево (право) смежны.

Основные свойства, смежностей L и R, необходимые нам ниже, раскрывает следующая


Теорема. Пусть H < G
1 . х G, у H (xLxy xRyx) (2)
2 . Левая и правая смежности на группе, порожденные любой ее подгруппой, являются отношениями эквивалентности.
Доказательство. 1. Реализуется тривиальной проверкой: установить, например, что xLxy - это значит проверить (см. (1)), что x (xy) H, что практически очевидно! Точно также и во втором случае.
2. Доказательство проведем для одной из смежностей, например, для L.

Рефлексивность L. Возмем х G. Находим: x х=1 H, т.е., согласно первому соотношению (1), прочитанному для у=х справа налево, x Lх.

Симметричность L. Возьмем х,у G и пусть xLy. Согласно (1), это означает, что x y H. Поскольку H y также лежит в H. Формализовав сказанное и сделав необходимые и очевидные преобразования, получим: (x y) = y (x ) = y x H, что прочитывается как yLx.

Транзитивность L. Возьмем х,у,z G и пусть xLy и уLz, т.е, согласно первой строке (1), x y, y z H. Если же два элемента лежат в подгруппе H, то их произведение также лежит в H: (x y)(y z) = x (yy )z = x z H. Иными словами (см. (1)), хLz. Теорема доказана.

Пусть в группе G выделена подгруппа H: H < G. Всякий элемент х G порождает - относительно смежностей L и R - классы эквивалентности, которые мы будем называть соответственно левым и правым классами смежности, порожденными элементом х, и обозначать через G (левый класс) и G (правый класс). Из левых класов смежности составлено одно фактор-множество, обозначим его \G, а из правых - другое фактор-множество G/ :


\G { G| x G}, G/ { G |x G} (3)
Фактор-множества \G и G/ называются, соответственно, левым и правым разложениями группы G по погруппе H.
Теорема. Следующие соотношения раскрывают строение левого и правого классов смежности элемента х G:
G = xH = {xt| t H} (4)
G = Hx = {tx| t H } (5)
Доказательство. Докажем, краткости ради, одну из формул, например (4). Используя положения теории множеств, нам надлежит установить два включения: G xH и xH G. Установим их.

1. Возьмем у G. Это значит, что xLy или x y H или, в другой редакции, t H такое, что x y = t, т.е., y = xt xH. Итак, мы установили истинность импликации у G y xH. Но это и означает, что G xH.

2. Возьмем теперь у xH. Согласно правой части формулы (4) это означает, что t H такое, что y = xt. Но отсюда следует, что t представимо так: t = x y ( H), т.е., xLy, а потому у G. Следовательно, xH G.

Теорема полностью доказана.



Примеры. 1. Для несобственных подгрупп Е и G группы G (напомним, что в этих случаях L = R) классы смежности, согласно формулам (4), (5), имеют тривиальное строение (см. §3):
Е: х G, G = G = {x} (6)
G: х G, G = G = G (7)
2. Этот пример очень важен для дальнейшего, поэтому мы остановимся на нем подробно. Рассмотрим подгруппу mZ аддитивной группы Z. Поскольку Z - абелева, смежности L и R на ней, порожденные подгруппой mZ, совпадают. Поэтому, в зависимости от удобства, в конкретных случаях мы будем пользоваться одной из них. Далее, совпадение L и R делает возможным использование в записях «смешанного» варианта - когда в одной и той же записи для удобства ипользуются обозначения, закрепленные за обеими смежностями. По формулам (4), (5), адаптированным для аддитивной групповой операции, для целого числа х Z получим:
Z = х+ mZ = {x+mt| t Z} (8)
По определению правой смежности, два числа х,у Z право смежны, если
х-у mZ (9)

т.е., разность целых чисел х и у кратна натуральному m (разность (x – y) делится на m - (x – y)чm или, что то же самое, m делит разность (x – y) - m|(x – y)).

Смежности целых чисел по подгруппе mZ можно придать еще одно содержание. Мы исходим из того, что любое целое число х можно единственным образом разделить с остатком на произвольное натуральное m:
x Z, m N, !q Z, !r N (r < m), x = mq + r (10)
Числа q и r в (10) называют (неполным) частным и остатком от деления x на m. Из (10) видно, что при фиксированно m остаток r может принимать лишь m значений:
r = 0, 1, . . . , m-1 (11)

Далее, из равенства (10) непосредственно усматриваем, что разность (x-r) mZ (см. (9)), т,е., при делении на m всякое целое число смежно (по подгруппе mZ) своему остатку, а значит Z = Z . Таким образом, m классов смежности, порожденных m числами (11) - потенциальными остатками от деления целых чисел на m - задают разложение (левое или правое - они совпадают) аддитивной группы Z по подгруппе mZ:





Z = { Z , Z , . . . , Z } (12)

Эквивалентностный характер смежностей L и R на группе G по подгруппе H, а также характер строения классов смежности, раскрываемый формулами (4), (5), являются основанием для установления связи между порядком группы G и порядком ее подгруппы H в случае конечности группы G. А именно, имеет место


Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок самой группы.

Формализация:


(H < G) (OrG N) (OrH)|(OrG)  (13)

Доказательство. Пусть G - конечная группа порядка n. Пусть, далее, OrH = k. Возьмем - для определенности - правое разложение группы G по подгруппе H, задаваемое второй формулой (3). Конечность группы G детерминирует конечность разложения G/ . Допустим, что число элементов разложения G/ равно s. Тогда вторая формула (3) специфицируется так:


G/ = { Hx , Hx , . . . , Hx } (14)
Анализируя (14), мы устанавливаем: 1) согласно формуле (5). Каждый из классов смежности Hx , Hx , . . . , Hx содержит ровно столько элементов, сколько их содержит H, т.е., k; 2) классы смежности Hx , Hx , . . . , Hx попарно не пересекаются, а их объединение дает всю группу G:
G = Hx Hx , . . . , Hx (15)
Из сказанного следует, что число элементов в правой части (15) равно sk, а значит равно n:
n = sk (16)
Но равенство (16) есть просто иная версия правой части (13), что и доказывает теорему Лагранжа (Лагранж Жозеф Луи - французский математик, 1736-1813).

§4. Нормальные делители группы. Факторгруппы
Пусть в группе G выделена подгруппа H. В §3 отмечено, что - за исключением абелевых групп - совпадение смежностей L и R, порожденных подгруппой H, это - особенность подгруппы H. Эта особенность фиксируется в следующем определении.
Определение. Подгруппу H группы G называют ее нормальным делителем или инвариантной подгруппой, если совпадают порожденные H левая и правая смежности на G:
L = R (1)
Обозначение: H <| G. Ясно, что совпадение левой и правой смежностей эквивалентно совпадению левого и правого разложений группы G по подгруппе H (см. (3) §3):
(L = R) ( \G = G/ ) (2)
Разложения (2) (это - одно и то же) в этом случае будем называть просто разложением группы по ее нормальному делителю.
Теорема (критерий нормального делителя). Пусть в группе G выделена подгруппа H. Тогда следующие три условия попарно эквивалентны

1. H <| G (3)

2. x G, y H, x yx H (4)
3. x G, G = G (5)

Доказательство. Замечание. Нам необходимо доказать три эквиваленции: 1 2; 1 3; 2 3. А так как каждая из них (необходимое и достаточное условие) распадается на две импликации, то всего предстоит доказать шесть утверждений. Мы, воспользовавшись свойствами (законами) логических операций, поступим иначе: докажем три импликации: 1 2; 2 3; 3 1. Будучи взятыми «вкруговую» (конъюнкция), они обеспечат искомое доказательство.

1 2. Дано (3). Возьмем x G, y H. Тогда, согласно (2) §3, xRyx. А так как R = L, то xLyx, откуда x yx H. Мы получили (4).

2 3. Пусть дано (4). Возмем z G = xH (см. (4) §3). Тогда t H такое, что z = xt. Отсюда t = x z. А так как t H, то (x ) t(x ) = (x ) (x z)x = zx = s H, т.е., z = sх Hx = G . Итак, доказано, что z G z G , т.е., G G . Аналогично доказывается обратное включение - G G, - что окончательно устанавливает (5).

3 1. Возьмем u,v G и пусть uLv. Тогда u G, а в силу (5) u G , что означает uRv, т.е., выполняется (1), а значит - по определению - выполняется (3). Теорема доказана.

Комментарий. Условие 2 (или (4) - что одно и то же) в теоретико-множественной редакции (см. §2, Замечание к критерию подгруппы) выглядит следующим образом:
G HG H (4*)
Доказанная теорема дает, по сути, два критерия нормального делителя: ведь каждое из соотношений (4), (5) само по себе является критерием.
Пример. Применим критерий нормального делителя к подгруппе SL(n,F) (специальная линейная группа) полной линейной группы GL(n,F). Будем действовать в соответствии с (2). Нам надлежит установить истинность правой часть (3). Выбираем A GL(n,F) и B SL(n,F). Нам надлежит установить истинность соотношения А ВА SL(n,F). Дляэтого необходимо найти Det(А ВА). Находим: Det(А ВА) = Det(А ) DetВ DetА = Det(А ) DetА = (DetА) DetА = 1, т.е., А ВА SL(n,F). В развертывании последовательности равенств мы учли, что B SL(n,F), а значит DetВ =1. Итак, SL(n,F) <| GL(n,F).
Нормальные делители групп являют собой источник для построения новых групп. Делается это следующим образом. Пусть в произвольной группе G выделена подгруппа H, являющаяся ее нормальным делителем:
H <| G (6)
Рассмотрим разложение (2) группы по ее нормальному делителю:

G = {xH| x G} (7)


Следующим правилом введем операцию умножения на G :
( xH), (уH) G (( xH) (уH) (ху) H) (8)
У формулы (8), задающей умножение на G , есть один «дефект»: потенциальная зависимость результата умножения классов смежности от выбора в этих классах элементов, их представляющих. Нам надлежит показать мнимый характер этой зависимости, т.е. доказать утверждение:
x,y,u,v G (((xH = uH) (yH = vH)) ((xy)H = (uv)H)) (9)
На языке математики доказать (9) значит установить корректность задающей формулы (8). Докажем (9). Левая часть импликации (9) означает, что x u, y v H. Установить истинность равенства в правой части импликации (9), значит установить, что (xy) (uv) H. Проверяем (внимание! - будет выполнено тождественное преобразование и использован крнитерий (4)): (xy) (uv) = (y x )(uv) = y (x u)v = (y (x u) у)(у v) H. Требуемое доказано, формула (8) задает умножение на G корректно!
На приведенной ниже схеме визуально - в терминах «полосок» - представлены группа G и фактор-группа G : основная горизонтальная полоса - группа G; вертикальные полоски - классы смежности, составляющие фактор-группу G :

G
x


y

1

xy



xH yH H (xy)H

G

Покажем теперь, что G образут группу относительно умножения, задаваемого формулой (8).

1. xH, yH, zH G ((xH)(yH))(zH) = ((xy)H)(zH) = ((xy)z)H = (x(yz))H = (xH)((yz)H) = (xH)((yH)(zH)) - т.е., умножение в G ассоциативно;

Легко проверяемо, что



2. H G (H = 1H !) - единица умножения;

3. (xH) = x H, т.е. любой элемент xH G обратим.

Итак, исходная группа G и ее нормальный делитель H послужили своего рода исходным материалом для «строительства» новой группы G . Построеннная группа G с групповой операцией, заданной формулой (8), называется фактор-группой группы G по ее нормальному делителю H.


Пример. Проинтерпретируем изложенное примером аддитивной группы Z и ее нормального делителя m Z, где m N (см. подробнее §3). Фактор-множество Z конечно (см. (12) §3):
Z = { Z , Z , . . . , Z } (10)
По формуле (8) операция сложения на Z представлена так (опускаем формальности):
Z + Z = Z (11)
В (11) число k+s, если k+s m, заменяется его остатком от деления на m (см. подробнее §3). Поскольку фактор-группа Z конечна, ее групповая операция (11) представима таблицей Кэли (см. §1). Для большей наглядности выберем m = 6 и построим таблицу Кэли для фактор-группы Z = {Z , Z , Z , Z , Z , Z }:
+ Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z Z Z Z Z Z Z

Z

Z

Z

В выше приведенной таблице выписана строка сумм элемента Z (выбран в столбце) с каждым элементом фактор-группы Z (берутся поочередно из строки). Так, например, таблица демонстрирует: - Z = Z .



§5. Гомоморфизмы групп. Основные понятия, свойства, примеры

Пусть даны две группы G и S. При определенной взаимосвязи между ними свойства одной из них могут переносится (быть может с некоторыми ограничениями) на другую. В качестве одной из базовых взаимосвязей между двумя группами выделяется отношение гомоморфизма.


Определение. Пусть даны две группы G и S. Считаем их мультипликативными. Отображение : G S называют гомоморфным или гомоорфизмом (гр. homo – похожий, подобный, morphe – форма) (группы G в S), если выполняется требование:
х,у G ( (ху) = (х) (х)) (1)
Содержание определения гомоморфизма визуально можно продублировать следующей схемой:


G S


Примеры. 1. Рассмотрим отображение мультипликативной группы С* в мультипликативную группу R* - : С* R* - по правилу:
u С*, (u) = |u| (2)
2. Пусть :GL(n,F) F* - отображение, заданное правилом:
A GL(n,F), (A) = DetA (3)
Рутинной проверкой устанавливается, что в обоих примерах отображения

обладают свойством (1), т.е. являются гомоморфными.



3. Пусть G - произвольная группа и H - ее нормальный делитель (см. (6) §4). Построим фактор-группу G/ (см. (7) §4). Зададим отображение : G G/ по правилу:
x G, (x) = xH (4)
Проверяем «на гомоморфизм» (опираясь на (4) и (8) §4): х,у G, (xу) = (ху)H = (хH)(уH) = (x) (y). Проверено! Построенный гомоморфизм группы G на ее факторгруппу G/ называют каноническим гомоморфизмом.
Свойства гомоморфизмов. 1. Пусть : G S гомоморфизм группы G в группу S. Тогда
(1) = 1 (5)
x G ( (x ) = (x) ) (6)
2 (Свойство композиции гомоморфизмов). Пусть G, S и T - три группы и :G S и :S T - два гомоморфизма. Тогда их композиция :G T есть также гомоморфизм ( применяется первым, - вторым).
Доказательство. 1. Докажем равенство (5). Возьмем x G и 1 G. По определению гомоморфизма - равенство (1) - получаем: (x) = (1x) = (1) (x). Это равенство тождественно можно переписать так: 1 (x) = (1) (x). Отсюда, сократив равенство справа на (x), легко получается требуемое.

Для доказательства равенства (6) используем (5) (доказано!). Возьмем x G и 1 G. Находим: (1) = (хх ) = (х) ( х ) = (х) (х) = 1, отсюда - требуемое равенство (6).



2. Возьмем х,у G. Найдем ( )(ху): ( )(ху) = ( (ху)) = ( (х) (у)) = ( (х)) ( (у)) = ( )(х) ( )(у), а это - и есть требуемое.

С гомоморфизмами групп связаны важные объекты, фиксируемые следующим определением.


Определение. Пусть : G S гомоморфное отображение группы G в группу S. Образ (G) группы G в S относительно называется образом гомоморфизма и обозначается Im (англ. image - образ), а полный прообраз (1) единицы группы S относительно называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker( ) (англ. kernel - ядро).

Формульно-математическая версия определения образа и ядра гомоморфизма выглядит следующим образом:


Im (G) = { (x)| x G} S (7)
Ker { x G| (x) = 1} G (8)
То же самое (определение и формулы (7), (8)) визуализируется схемой:

G S Im


Ker
Так, например, в примере 1 находим: Im = R , Ker = {z C| |z| = 1}. Геометрически комплексные числа (точки или концы векторов на координатизированной плоскости) - с модулем, равным 1, - образуют единичную окружность.

Свойство (5) гласит, что всегда 1 Ker . Если ядро гомоморфизма состоит только из 1 - Ker = {1}, - то его называют тривиальным.


Теорема. Пусть : G S гомоморфное отображение группы G в группу S. Тогда
Im < S, Kerφ <| G (9 )
Доказательство. Для доказательства отношений (9 ) используем критерии подгруппы и нормального делителя (см. §1 и §2).

1. Возьмем произвольные u,v Im . Пусть х и у из G - их прообразы относительно гомоморфизма : (х) = u, (y)= v. Отсюда - так как х у лежит в G - последовательно, опираясь на (1), (6), устанавливаем: ( х у) = ) (у) = (х) (у) = u v Im , т.е., (9 ) доказано.

2. Установим в начале, что Kerφ < G. Возьмем х,у Kerφ. Находим: ( х у) = ) (у) = (х) (у) = 1 1 = 1, т.е., х у Kerφ, а значит - по критерию подгруппы - Kerφ < G. Далее, применяем к Kerφ критерий нормального делителя (4) §4: х G, у Kerφ, ( х ух) = ) (у) (х) = ( х) ( х) = 1, т.е., х ух Kerφ, а это и есть доказательство (9 ).

§6. Изоморфизмы групп. Определение, основные свойства, примеры
Пусть даны две группы G и S.

Определение. Изоморфизмом (греч. iso – одинаковый, равный, morphe - форма) или изоморфным отображением группы G на S называют биективный гомоморфизм f: G S. В этом случае группу G называют изоморфной группе S.
Пример. Рассмотрим две группы: мультипликативную группу R и аддитивную группу R. Возьмем логарифмическое отображение (например, по десятичному основанию) lg: R R первой группы на вторую. Отображение lg - биективное и оно наделено свойством гомоморфизма (см. (1) §5): х,у R , lg(ху) = lgх + lgу. Таким образом, мультипликативная группа R изоморфна аддитивной группе R.
Свойства изоморфизмов. 1. Если f: G S - изоморфное отображение группы G на группу S, то обратное отображение f : S G так же является изоморфизмом;

2. Если G, S и T - три группы, а f: G S и g: S T - два изоморфизма, то их композиция gf: G T - также изоморфизм;

3. Пусть : G S - сюръективный (Im = S) гомоморфизм. Тогда фактор-группа G/ изоморфна группе S.

Доказательство. 1. Поскольку - по определению - изоморфизм f: G S - это биективное отображение, мы можем построить для него обратное отображение f : S G также биективное. Возьмем u,v S. Пусть f (u) = x G, f (v) = y G, или, что то же самое по сути, - f(x) = u, f(y) = v. Поскольку f - изоморфизм, то, согласно (1) §5, f(xy) = f(x)f(y) = uv. Но тогда f (uv) = xy = f (u) f (v), т.е., f - изоморфизм.

2. Устанавливается рутинной проверкой.

3. Так как Ker <| G, то мы можем построить фактор-группу G/ (см. (7), (8) §4). Зададим отображение f:S G/ правилом:
у S, f(y) = xKer (x) = y (1)
Покажем, что правилом (1) действительно задано отображение (то же самое: правило (1) задает отображение корректно). Для этого надлежит установить, что фиксированному у S по формуле (1) отвечает единственный (!) элемент xKer G/ . В (1) класс смежности xKer задан своим элементом х G. Если он задан другим своим элементом, например z - xKer = zKer , - то это означает, что x z Ker , т.е., (x z) = 1, откуда (x) = (z) и по формуле (1), прочитанной справа налево, f(y) = zKer , т.е., правилом (1) f(y) определяется однозначно.

Биективность f. Взяв произвольный элемент xKer G/ , мы по элементу х G, задающему xKer , немедленно найдем y = (x) S, являющийся, согласно (1), прообразом в S для xKer G/ : f(y) = xKer , т.е., отображение f сюръективно. Пусть теперь у S, f(у ) = f(у ). Согласно (1) это означает, что х Ker = x Ker , где - вновь согласно (1) - x и x выбраны так, что (x ) = y и (x ) = y . Равенство х Ker = x Ker означает, что x x Ker или - по иному - (x ) = (x ), т.е., y = y . Итак, f(у ) = f(у ) y = y , а это и есть индикатор инъективности отображения f. Итак, f - биективно.

Покажем, что отображение f наделено свойством гомоморфизмов (см. (1) §5). Возьмем х,у S и пусть u,v G - их прообразы относительно гомоморфизма : (u) = х, (v) = у. Это, согласно (1), означает, что f(x) = u Ker , f(y) = v Ker . Теперь в фактор-группе G/ находим: (uKer )(vKer ) = (uv) Ker . Поскольку - отображение гомоморфное, то (uv) = (u) (v) что, согласно (1), является основанием для конструирования следующей последовательности равенств: f(xy) = f( (u) (v)) = f( (uv)) = (uv) Ker = (uKer )(v Ker ) = f(x)f(y). Мы пришли к искомому: f(xy) = f(x)f(y), т.е., f - гомоморфизм (биективный), а значит - изоморфизм. Свойство доказано.


Теорема (критерий изоморфизма). Гомоморфизм : G S группы G в S является изоморфизмом (т.е. биективным отображением) тогда и только тогда, когда
Im = S, Ker = {1} (2)
Второе равенство (2) указывет на тривиальность ядра гомоморфизма . Отсюда - иная лингвистическая версия критерия изоморфизма: Гомоморфизм : G S группы G в S является изоморфизмом (т.е. биективным отображением) тогда и только тогда, когда Im = S, а ядро Ker тривиально.
Доказательство. Первое равенство (2) в иной редакции означает всего лишь сюръективность . Поэтому предмет нашего внимания - тривильность ядра гомоморфизма.

Необходимость. Пусть гомоморфизм : G S является изоморфизмом, а значит инъективен. По свойству (5) §5 1 Ker , а в силу инъективности в Ker кроме 1 ничего больше нет, отсюда и тривиальность ядра изоморфизма .

Достаточность. Пусть ядро гомоморфизма тривиально (Im = S, т.е. сюръективность уже обеспечена). Возьмем х,у G и пусть (х) = (у). Нам надлежит установить, что в этом случае обязательно х = у! Основываясь на свойствах (5), (6) гомоморфизмов (см. §5), определении ядра гомоморфизма, имеем цепочку импликаций: (х) = (у) (х) (у) = 1 ( S) ) (у) = у) = 1 х у Ker = {1} х у = 1 ( G) х=у, что и констатирует инъективность . Теорема доказана.
Замечание. Изучение алгебраических структур есть изучение свойств операций и отношений, заданных на множестве (множествах). Изучая алгебраические структуры, исследователи не интересуются природой элементов. С этих позиций даже поведение элементов структуры по отношению к операциям и отношениям (например, свойства отдельных элементов группы «быть единицей», вступать в отношение «обратимости» и т.д.) - это, в конечном итоге, свойства операций и отношенй алгебраической структуры, детерминирующей эти «поведения» элементов. С учетом сказанного (игнорирование природы элментов алгебраической структуры) с точки зрения алгебры две изоморфные группы (а в общем контексте - две изоморфные алгебраические сруктуры) рассматриваются как «различные экземпляры» одной и той же группы. Этим приемом часто пользуются, если возникает необходимость, заменяя одну группу другой - ей изоморфной («один экземпляр» группы заменяют «другим ее экземпляром»). Данный прием является очень мощным методологическим средством, применяемым в математике.

§7. Степень и порядок элемента группы
Пусть G - произвольная группа (по умолчанию считаем ее мультипликативной). Возьмем a G и Z.
Определение. Целой - n-й - степенью элемента a группы G - обозначается a - называют элемент, определяемый равенством

aa . . . a (n сомножителей), если n>0;

a 1, если n=0; (1)

a a . . . a (-n сомножителей), если n<0.


При этом сам элемент a называют основанием, а целое число n - показателем степени.
Замечание. На практике рассматриваемая группа G часто бывает аддитивной. В этом случае происходит соответствующая лингвистическая трансформация: вместо целой степени a элемента а говорят о его целом кратном na с соответствующей поправкой обозначений и названий (например, сомножитель слагаемое).
Основные свойства степеней. Пусть G - произвольная группа, a G - произвольный ее элемент. Тогда
m,n Z, a a = a , (a ) = a (2 )
Мы опускаем доказательства равенств (2 ) как таковые и ограничиваемся комментариями к ним, после которых сами доказательства предстают рутинными и носят чисто технический характер.

Выскажемся подробно о равенстве (2 ). В равенстве (1) показатель степени n может пребывать в трех модусах (лат. modus – состояние): n>0, n=0, n<0. В исследуемом равенстве (2 ) фигурирует два показателя степени и каждый из них - независимо от другого - может пребывать в трех модусах. Следовательно, пара показателей m и n может - формально - пребывать в девяти модусах (по типу «каждый с каждым»): 1. m>0 n>0; 2. m>0 n=0; 3. m>0 n<0; 4. m=0 n>0; 5. m=0 n=0; 6. m=0 n<0; 7. m<0 n>0; 8. m<0 n=0; 9. m<0 n<0. Далее, в третьем и седьмом случаях модус суммы показателей m+n неоднозначен, а потому надлежит в каждом из них рассмотреть три подмодуса (подслучая): 3 , 7 . m+n>0; 3 , 7 . m+n=0; 3 , 7 . m+n<0. Итого, чтобы получит полное доказательство равенства (2 ), нам надлежит рассмотреть 13 (!) случаев (модусов показателей степеней m, n, m+n): модусы 1, 2, 3 , 3 , 3 , 4, 5, 6, 7 , 7 , 7 , 8, 9. Все эти случаи технически сходны между собой (в этом - технический характер доказательства), но этих случаев 13 (!) и в этом - рутинность процедуры. То же самое относится и к равенству (2 ). Оставляем читателю реализовать один-два модуса при доказательстве каждого из равенств (2 ).


Определение. Пусть G - группа. Элемент a G называют

1. элементом нулевого порядка, если никакая его натуральная степень не равна единице:


n N, а ≠ 1; (3)
2. элементом конечного порядка, если некоторая его натуральная степень обращается в 1:
n N, а = 1. (4)
Примеры. 1. Возьмем мультипликативную группу C*. Очевидно, что 5, -3 C* - элементы нулевого порядка, в то время как i,-1 C* - элементы конечного порядка: i = 1, (-1) = 1.

2. Пусть ε - произвольный корень n-й степени из 1. Поскольку - по определению - ε = 1, то ε С* - элемент конечного порядка. Этот пример - обобщение частных случаев i,-1 C* примера 1.

Определение. Пусть G - группа и a G - элемент конечного порядка (выполняется (4)). Наименьшее натуральное число со свойством (4) называют порядком элемента а и обозначают Ora (англ. Order - порядок; внимание: в записи Ora буква а обозначает элемент!).

Замечание. По отношению к элементам нулевого порядка группы принимаем специальное соглашение и пишем Ora = 0.

Примеры. 1.. В выше приведенных примерах Ori = 4, Or(-1) = 2.

2. Специального рассмотрения заслуживает общий случай с комплексными корнями n-й степени из 1. В тригонометрической форме корни n-й степени из 1 задаются формулами:
ε = cos + isin , k=0, 1, . . . , n-1 (5)
При этом корень ε является первообразным (его целыми степенями исчерпывается множество всех корней n-й степени из 1):
k=0, 1, . . . , n-1 ε = (ε ) (6)
Формула (6) указывает, что число n в точности удовлетворяет определению порядка элемента, т.е.,
Or ε = n (7)
Определение порядка элемента a группы G (элемента конечного порядка!) формализуется следующим образом:
((Ora N) (a = 1) (( n N (n < Ora)) (a 1)) (8)
Основное свойство порядка элемента. Пусть a G - элемент конечного порядка. Тогда
n Z, (а = 1) (n 0 (modOra)) (9)

Доказательство. Необходимость. Пусть n Z таково, что
а = 1 (10)
Разделим n с остатком на Ora:
n = (Ora)q + r, 0 r < Ora (11)
Внесем в левую часть (10) n из (11) и выполним, опираясь на (2 ), ряд тождественных преобразований (помним, что в результате должны получить 1 - правую часть (10)):
а = a = a a = (a ) a = a = 1 (12)
Но a = 1 имеет единственное - в силу (8) - следствие: r = 0. Тогда из (11) следует, что n (Ora) (или (Ora)|n, что то же самое), а это и есть правая часть эквиваленции (9).

Достаточность. Выполнимость сравнения в правой части эквиваленции (9) в иной интерпретации означает, что n делится на Ora без остатка, т.е., в (11) r = 0. Тогда вычисляем а с учетом (11) при r = 0. Результат - а = 1. Требуемое - доказано.
Следствие 1. Пусть a G - элемент конечного порядка. Тогда
m,n Z ((a = a ) (m n (modOra))) (13)
Доказательство почти очевидно: делим обе части равенства (в левой части эквиваленции) (13) на a , а затем к результату деления применяем основное свойство порядка.
Следствие 2. У элементов конечного порядка группы и только у них имеются совпадающие степени с различными показателями степеней:
((a G) (Ora N)) ( m,n Z (a = a )) (14)
Доказательство. 1. Если a G - элемент конечного порядка, то, например, m Z, a = a (= 1).

2. Обратно, если для различных m,n Z (пусть m>n) a = a , то а = 1 и а - элемент конечного порядка (см. (4)).
Очевидно, что следствию 2 логически эквивалентно утверждению:
Следствие 3. У элементов нулевого порядка группы и только у них степени с различными показателями степеней различны:
((a G) (Ora = 0)) ( m,n Z ((m ≠ n) (a ≠ a ))) (15)
Возьмем элемент а G и построим множество всех его целых степеней:
а = {a | n Z} (16)
Следстия 1-3 дают онование утверждать, что если Ora N, то множество а - конечно, причем можно выписать все его элементы:
а = {a =1, a , a . . . , a } (17)
Если же а G - элемент нулевого порядка - Ora = 0, - то множество а бесконечно.

§8. Циклические подгруппы и группы
Пусть G - произвольная группа. Возьмем а G и построим множество всех его целых степеней ((16) §7):
а = {a | n Z} (1)
Применение к а критерия подгруппы (см. (1) §2, использовать так же основное свойство степеней (2 )) приводит к выводу:
а < G (2)
Определение. Подгруппа а группы G, построенная вышеуказанным способом, называется ее циклической подгруппой. Элемент а называют ее образующим элементом (или - образующей).
Согласно заключительным выводам §7 циклическая подгруппа а группы G конечна, если а - элемент конечного порядка и бесконечна в противном случае. Причем, согласно (17) §7, в первом случае Orа = Ora. Этот факт формализуется следующим образом:
G, Ora N Orа = Ora (3)
Определение. Группа G называется циклической, если она совпадает с одной из своих циклических подгрупп. Формализация: группа G циклическая, если
а G, а = G (4)
Примеры циклических групп. 1. Формально, взяв в заданной группе G произвольный элемент а, мы построим циклическую подгруппу а группы G и тем самым получим циклическую группу а ;

2. Циклическими являются группы:

2 . Аддитивная группа Z: Z = 1Z. Элемент 1 - образующий элемент этой группы;

2 . Группа G(n,1) комплексных корней n-й степени из 1. На этой группе остановимся чуть подробнее. Формула (6) §7 указывает, что
G(n,1) = (ε ) (5)
т.е., G(n,1) - циклическая группа, причем, согласно (7) §7 и (3), имеем:
Or G(n,1) = n (6)
Теорема. 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z;

2. Всякая конечная циклическая группа данного порядка n изоморфна группе комплексных корней n-й степени из 1.
Доказательство. В начале выскажем следующее соображение. В терминологии Замечания, заключающего §6, рассматриваемая Теорема утверждает, что: 1. С точностью до изоморфизма существует лишь одна бесконечная циклическая группа (это - аддитивная группа Z, а любая другая такая группа - это «другой ее экземпляр); 2. Точно та же ситуация реализована при фиксированном натуральном n: с точностью до изоморфизма существует лишь группа G(n,1). Доказательства теорем «единственности с точностью до изоморфизма», - например для групп - реализуются по следующей логической схеме: 1. одна из групп рассматриваемого семейства - обозначим ее через G - выбирается в качестве «эталона»; 2. с этой группой «сравнивается» любаяя другая группа S семейства, а именно устанавливается изоморфизм группы S и «эталона» G; 3. теперь, если S и T - две произвольные группы рассматриваемого семейства групп, то в п.2 установлено наличие изоморфизмов u: S G и v: T G. Но тогда, согласно свойствам 1, 2 §6 изоморфизмов групп, отображение v u: S T так же является изоморфизмом, что и завершает доказательство всякой теоремы «единственности с точностью до изоморфизма». Из изложения этой логической схемы видно, что базисными в ней являются п.п. 1, 2. Если они исполнены, то п. 3 осуществляется автоматически! Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы по изложенной выше схеме.

1. «Эталонной» группой выбирается адитивная группа Z (п. 1 логической схемы реализован). Пусть а - произвольная бесконечная циклическая группа. Это, в частности, означает, что Ora = 0. Зададим отображение u: Z а следующим образом:
n Z, u(n) = а (7)
Проверяем u «на гомоморфизм». Берем n,m Z и находим, согласно (7): u(n+m) = а = а а = u(n)u(m). Т.е., u - гомоморфное отображение аддитивной группы Z в мультипликативную группу а . Применим к u критерий изоморфизма (см. §6). Сюръективность u вытекает из способа его задания (7). Установим инъективность u, т.е. - согласно критерию - тривиальность ядра Keru. По определению ядра Keru = {n Z| u(n) = а = 1}. Поскольку Ora = 0, то а = 1 возможно лишь при n = 0. Т.е., ядро Keru = {0} - тривиально, а значит u - изоморфизм. Тогда u : а Z так же изоморфизм. Тем самым, в этой части теорема доказана.

2. Здесь, при выбранном и фиксированном натуральном n, в качестве «эталонной» выбирается группа G(n,1). В остальном технически доказательство не отличается от части 1 теоремы. (пусть читатель проведет доказательство самостоятельно).
скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Основные алгебраические структуры
2176.79kb.
8 Способы изменения структуры организации компании
394.72kb.
Программа дисциплины «Операционные среды, системы и оболочки»
225.94kb.
Структурный синтез манипуляционных механизмов параллельной структуры с четырьмя и пятью степенями свободы
62.58kb.
Общие теоретико-методологические вопросы музееведения
118.3kb.
Алгебраические модели баз данных : рабочая программа учебной дисциплины / сост. М. В. Кононова. Оренбург : огим, 2013. 22с
311.08kb.
Указ 24 сентября 2007 n 1274 Вопросы структуры федеральных органов исполнительной власти
114.66kb.
Тема Фирма Основные рыночные структуры: совершенная и несовершенная конкуренция. Фирмы в экономике. Издержки, выручка, прибыль. Производительность труда
63.92kb.
Приведена методика организации исследования численности и возрастной структуры популяций амфибий в весенне-летний период
148.79kb.
Данный меморандум является стартовым документом, на основании которого будут сформированы основные документы, регламентирующие деятельность Региональной технологической платформы, и определены ее основные участники
230.02kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Введение в теорию моделей и алгебраические приложения»
90.1kb.
Методическая разработка по математике и информатике на тему: «Матрицы и алгебраические действия над ними с точки зрения информатики»
304.07kb.