Главная
страница 1
скачать файл
ПОСТРОЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП
А.В.Каргаполов
Целью данной работы является нахождение приближенных формул для рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп.

Для достижения описанной цели воспользуемся результатом Ферраза.



Лемма 1. [Теорема 4. 5 [1]] Ранг группы  равен количеству разбиений) натурального числа n, удовлетворяющих следующим свойствам:

1 .  нечетно, ;

2. , где ;

3. ;

4. не является полным квадратом.

Заметим, что ранг группы соответствует количеству классов сопряженности группы , которые разбиваются на два класса сопряженности в и дают нецелые значения характеров[2].



Определение. Разбиением натурального числа n называется последовательность  натуральных чисел такая, что и .

Таким образом, нужно подсчитать количество разбиений степени знакопеременной группы на различные нечетные положительные слагаемые, причем их произведение не должно являться полным квадратом, и количество элементов должно быть сравнимо с n по модулю 4.

Ранее автором был разработан и реализован параллельный алгоритм для нахождения рангов, получены точные значения для n≤800 [3], их будем использовать в качестве эталонных значений.

Для вывода необходимых формул будем учитывать все условия или только некоторые из них. Будем обозначать согласно [4], все разбиения , разбиения на различные числа , разбиения на различные нечетные числа . Также обозначим разбиения на различные нечетные числа с количеством элементов сравнимым с n по модулю 4 как . Ранг группы .

При помощи анализа диаграмм Юнга можно получить рекуррентные формулы для , , и .

Покажем как получаются формулы для .

Рассмотрим разбиение n на различные нечетные положительные числа с k слагаемыми, из него мы можем получить разбиения больших n двумя способами:


  1. приписать 2k клеток – увеличить каждое слагаемое на 2;

  2. приписать 2k клеток и добавить еще одно слагаемое – 1.

Если теперь посмотреть с другой стороны, не добавлять новые клетки, а наоборот убирать, то получаем рекуррентную формулу:

, (1)

где считаем, что и , если .

Также в работе [3] выводилась формула для подсчета количества элементарных операций, которое понадобится, чтобы проанализировать все разбиения числа n на элементы не меньшие, чем k. Используем ту же самую идею, то есть кроме n и k будет интересовать разница между n и количеством слагаемых по модулю 4.

, (2)

где

Чтобы узнать , нужно вычислить , то есть

. (3)

В [6] приведена производящая функции для :



(4)

Попытаемся получить аналогичную формулу и для . Производящая функция будет выглядеть так:



(5)

Для , и существуют асимптотические формулы. Например, для при имеет место следующая формула[6]:



(6)

Также в [5] приводится формула для :



(7)

При выводе формулы для с помощью метода, изложенного в книге Постникова [7], аналогичная асимптотика для была получена автором самостоятельно.

Проведем аналогичные рассуждения, как и для . Детали и строгое доказательство опустим. Заменим в (6) , где , и обозначим . Получаем формулу:

(8)

Далее получим, что при выполнении условия :



(9)

Вычислим значение логарифма :









Получаем все необходимые значения: , , , .

Подставив их в (9) получаем искомую формулу:

(10)

Учет условия 3 из 1 подразумевает разделение всех разбиений из на два класса: если n четно, то k также четно, по модулю 4 дает 0 или 2, если n нечетно, то k также нечетно, по модулю 4 дает 1 или 3.

Практика показывает, что разница между разбиением на k элементов и на k+2 невелика, асимптотическую зависимость найти пока не удалось, хотя, например, для (количество разбиений положительного n на k слагаемых) можно записать следующее соотношение:



Гипотеза 1. При имеет место формула

. (11)

Основываясь на практических результатах, можно полагать, что достаточно редко произведение элементов разбиения дает полный квадрат.



Гипотеза 2. При имеет место формула

. (12)

Получаем, что до 800 известны точные значения рангов, примерно до можно вычислить на обычном персональном компьютере, далее можно пользоваться асимптотической формулой.

Посмотрим на точность получаемых значений:

n



(3)

(12)

100

1006

1008



200

171988

172441



300

6521918

6524506



400

172468858

172512720



500

3044489334

3044709903



600

40127403414

40129477067



700

445632142623

445640707015



800

4235625351844

4235682008733



Результаты вычислений.

Видно, что с ростом n асимптотическая формула и точные значения дают неплохое приближение к рангу .



Библиографический список

  1. Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings. / R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004. Vol. 279, no. 1. P. 192-203.

  2. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. / Г. Фробениус. Харьков: гос. науч.-техн. изд Украины, 1937.

  3. Каргаполов А.В. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. / А.В. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. Стр. 395-401.

  4. Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers. / R. Ayoub. American mathematical society, 1963.

  5. Flajolet P., Sedgewick R. Analytic Combinatorics. / P Flajolet, R Sedgewick. Cambridge University Press, 2009.

  6. Эндрюс Г. Теория разбиений. / Г. Эндрюс. М.:Наука, 1982.

  7. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. / А.Г. Постников. М.: Наука, 1971.
скачать файл



Смотрите также:
Построение центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп
59.63kb.
Конечное поле целых чисел. Поле Галуа Кульминацией в теории групп и колец Галуа является понятие конечного поля. Поле, конечное поле обозначает одну и ту же структуру
205.26kb.
Всего на Татарстанской таможне в текущем году задержано более 1120 единиц контрафактной продукции
13.26kb.
Исследование линейно независимых подгрупп мультипликативных групповых алгебр конечных 2-групп
15.14kb.
Единицы труда
44.31kb.
Треугольник
240.63kb.
Построение Производного Класса Рассмотрим построение программы, которая имеет дело с людьми, служащими в некоторой фирме. Структура данных в этой программе мо­жет быть например такой
39.95kb.
Урок по геометрии в 10-м классе по теме: «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»
49.99kb.
1. Назовите место, где проводились Олимпийские игры в древности
42.15kb.
Конкурс малых грантов «Развитие самоорганизации местных гражданских групп юга Украины -2011»
73.87kb.
Го тезис «Кристаллография прекрасный полигон для освоения теории групп» помог выявить определяющую роль кристаллографии в становлении теории дискретных групп. Н. В
10.48kb.
Определение импульсного распределения частиц в пучках накопительных колец
20.41kb.