Главная
страница 1страница 2
скачать файл


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кировский филиал





КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По эконометрике

Вариант № 9



Преподаватель:

Работу выполнила:

Студентка 3 курса

Факультет М и М

Специальность ЭТ


КИРОВ, 2009
Содержание

Задача № 1…………………………………………………………………….3

Задача № 2…………………………………………………………………….16

2а………………………………………………………...…………16

2б…………………………………………………………………...18

2в……………………………………………………………………21

Список литературы…………………………………………………………..

Задача № 1.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.)






12

4

18

27

26

29

1

13

26

5



21

10

26

33

34

37

9

21

32

14


Требуется:

  1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

  2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

  3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

  4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

  5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

  6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

  7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

  8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

  • гиперболической;

  • степенной;

  • показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

  1. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.



Решение:

1. Найдём параметры уравнения линейной регрессии.

Линейное уравнение имеет вид: у = а + bx +,

где возмущение, случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.
Найдём параметры а и b с помощью метода наименьших квадратов:



n=10 исходя из условия.

Составим расчётную таблицу 1.1.:

Таблица 1.1. Вычисление параметров


Подставляем полученные данные в нашу систему:

237 = 10а + 161b a=8,12

4792 = 161а + 3601b b=0,97


- формула для расчёта теоретического значения у.
Экономическая интерпретация коэффициента регрессии:

Данная формула показывает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн.руб. объём выпуска продукции увеличится на 970 тыс.руб.


2. Вычислим остатки; найдём остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у в каждом наблюдении на две составляющих - и ;



.

Остаток представляет собой отклонение фактического зна­чения зависимой переменной от значения данной перемен­ной, полученное расчетным путем: ().

Для вычисления остатков, остаточной суммы квадратов составим расчётную таблицу 1.2.

Для нахождения дисперсии на одну степень используем формулу:



Таблица 1.2. Вычисление остатков.


Остаточная сумма квадратов = 11,35 показывает, какое влияние на результат оказывают прочие факторы, следовательно, прочие факторы оказывают незначительное влияние на результат.
- дисперсия на одну степень свободы.
Построим график остатков (рис. 1.1).

Рис. 1.1. График остатков




3. Проверим выполнение предпосылок МНК.


  • Первое условие. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю.

Наше уравнение регрессии включает постоянный член, следовательно, первое условие выполняется автоматически.

  • Второе условие. В модели возмущение есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина не случайная.

Это условие так же выполнено.

  • Третье условие. Отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях.

Т.к. наша случайная составляющая в первом наблюдении, например, равна 1,27, а во втором - -1,99, т.е. то, что она положительна в первом случае не обуславливает то, что она будет такой же в других наблюдениях. Значит, случайные составляющие не зависят друг от друга.

  • Четвёртое условие. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Это условие равноизменчивости возмущения.

Несмотря на то, что случайные составляющие не зависимы друг от друга и меняются постоянно в разном направлении, но они не порождают большой ошибки.
Таким образом, все предпосылки МНК выполнены.
4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:



Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):




где - среднее значение независимой переменной х;



стандартная ошибка;
Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости  (0,1; 0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями сво­боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна­чимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует ис­ключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Значение t-критерия с (10–2=8) степенями сво­боды и уровнем значимости  (0,05) = 2,31. Расчетные значения для a и b равны 11,4128 и 25,809 соответственно.

Следовательно tрасч. > tтабл. Отсюда следует вывод, что a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.


5. -Вычислим коэффициент детерминации,

-проверим значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера ,

-найдём среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Сделаем вывод о качестве модели.


Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
;
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая, очень сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:



R2 = r2yx = 0,988

Вариация результата у (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора х (объемом капиталовложений), т.е качество модели высокое.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

F>FТАБЛ = 5,32 для  = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ .

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:



Среднюю ошибку найдём с помощью таблицы 1.3.

Таблица 1.3. Ошибки аппроксимации.

В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,97% - модель достаточно точно аппроксимирует исходные данные.

ВЫВОД:

Линейная модель статистически значима, высокого качества.
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя у при уровне значимости , если прогнозное значения фактора х составит 80% от его максимального значения.
Прогнозное значение фактора х = 80% * 29 млн.руб. = 23,2 млн.руб.
В пункте 1. была построена модель зависимости выпуска продукции от размера капиталовложений:

.

Для того, чтобы определить выпуск продукции при объёме капиталовложений 23,2 млн.руб. необходимо подставить значение хпрогн в полученную модель.



yпрогноз = 8,12+0,97*23,2= 3.827=30,63.

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.



доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки, удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал
.

Для вычисления используем данные, полученные в п. 2.и в таблицах 1.1 и 1.2.

Коэффициент Стьюдента для m=8 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 3,3554. Тогда



Таким образом, прогнозное значение =30,63 будет находиться между верхней границей, равной 30,63+4,28=34,91 и нижней границей, равной 30,63-4,28=26,35.
7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза (рис. 1.2.).
Рис. 1.2. График фактических, модельных и прогнозных значений у.



8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

  • гиперболической;

  • степенной;

  • показательной.

Приведём графики построенных уравнений регрессии.


    • Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции : ŷ = a + b / x .

Произведем линеаризацию модели путем замены Z = 1 / х. В результате получим линейное уравнение

ŷ = a + b Z.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 1.4.

Таблица 1.4. Нахождение параметров гиперболы



Получим следующее уравнение гиперболической модели:

ŷ=28 – 23,72 / х .

Изобразим на графике построенную модель (Рис. 1.3.).


Рис.1.3. Гиперболическая модель.






  • Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x.
Обозначим Y = lg ŷ, X = lg x, A = lg a. Тогда уравнение примет вид

Y = A + b X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.5.

Таблица 1.5. Нахождение параметров степенной модели.




Уравнение регрессии будет иметь вид :

Y=0,854+0,453* X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.




Получим уравнение степенной модели регрессии:
.

Построим график степенной модели (рис. 1.4).

Рис. 1.4. График степенной модели.





  • Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: ŷ = a b x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B x .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.6.

Таблица 1.6. Нахождение параметров показательной модели.



Уравнение будет иметь вид: Y=0,9966 + 0,0206

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование данного уравнения:

.

Изобразим построенную модель на графике (рис. 1.5.).

Рис.1.5. График показательной функции.



9. Для вышеуказанных моделей найдём коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.


  • Гиперболическая модель:

Определим индекс корреляции

=0,6838.

Связь между показателем y и фактором x можно считать умеренной.



Индекс детерминации:

0,4676.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 46,76 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 37,049 %.




  • Степенная модель:

Определим индекс корреляции:

=0,9632.

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Коэффициент детерминации:

0,9277

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 92,77 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 10,09 %.



  • Показательная модель:

Определим индекс корреляции

=0,9702.

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Индекс детерминации:

0,9413

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 94,13 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).


Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения ŷ для показательной функции отличаются от фактических на 10,62 %.


Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 1.7.



Параметры
Модель

Коэффициент детерминации R2

Индекс корреляции yx (ryx)

Средняя относительная ошибка Еотн

1.Линейная

0,9881

0,9940

4,97

2.Степенная

0,9277

0,9632

10,09

3.Показательная

0,9413

0,9702

10,60

4.Гиперболическая

0,4676

0,6838

37,05

Как мы видим, линейная модель является лучшей по всем параметрам.



Задача № 2.
скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Контрольная работа по эконометрике
238.4kb.
Методические указания По дисциплине «Система то ла» выполняется контрольная работа на тему «Проектирование системы обеспечения то вс»
808.81kb.
Контрольная работа по дисциплине «Английский язык в профессиональной сфере»
160.7kb.
Контрольная работа по философии
141.06kb.
Контрольная работа по курсу «Психогенетика»
100.19kb.
Контрольная работа по теме «Экономические районы»
42.75kb.
Контрольная работа 8 класс население России
62.48kb.
Контрольная работа по дисциплине «Основы микроэлектроники»
7.47kb.
Контрольная работа №4 Прочитайте и устно переведите текст оPhilipsCompany
47.6kb.
Контрольная работа по дисциплине: «Страхование» на тему: «Страховые риски»
162.63kb.
Контрольная работа по теме «Художественная культура Древнего Египта»
9.72kb.
Литература вопросы к зачету экз вопросы контрольная работа
1384.03kb.