Главная
страница 1
скачать файл
План фрагмента рабочей тетради по модулю: «Неопределённый интеграл»
Работа 1В.Д.Определение производной функции. Правила дифференцирования.

Работа 2 Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
ТДО 1
Работа 3 Замена переменной в неопределённом интеграле.
ТДО 2

Работа 4 Интегрирование по частям. Кольцевые интегралы.
ТДО 3

КД 1
Работа 5 Интегрирование правильных дробей. Метод неопределённых коэффициентов.
ТДО 4
Работа 6 Интегрирование рациональных и некоторых иррациональных функций.
ТДО 5

Работа 7 Интегрирование иррациональных функций.

ТДО 6

КД 2
Работа 8 Интегрирование тригонометрических функций.
ТДО 7

Тест по теме: «Неопределённый интеграл»
Рабочая тетрадь по модулю: «Неопределённый интеграл»
Работа 1. В.Д. Определение производной функции. Правила дифференцирования
1) Сформулируйте определение производной функции у =f(х) в т. х = а, заполнив пропуски:





2) Каким свойством должна обладать точка области определения, чтобы в ней можно было определить производную? __________________

3) Как называется операция вычисления производной? __________________

4) Имеется три функции. Между первой и второй существует взаимосвязь. Установите её, и рассуждая аналогично, подберите из списка а) - г) функцию, имеющую такую же взаимосвязь с третьей:

1. f(х)= ; 2. f(х)= ; 3. f(х)= ;

а) . f(х)= ; б). f(х)= ; в). f(х)= ; г). f(х)= ;

Ответ:_________________________________

5) Запишите правила дифференцирования, заполнив правый столбец в таблице:
а). = а). б). =б).

в). в).г). =г).д). Если , тод).



6) Установите соответствие между выражениями, записанными в левом и правом столбцах:

1). а).



2). б).

3). в).

4). г).


Ответ: Функции, записанные в правом столбце являются _______________ для функций, записанных в левом столбце. 1) 2) 3) 4)

7) Вычислите производные функций, записанных в столбце 1, указав выполненные действия в столбце 2 и правила дифференцирования, которые при этом использовали в столбце 3:

1 столбец 2 столбец3 столбец1). 2). 3).



Работа 2. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование
1)Установите взаимосвязь между функциями, записанными в левом и правом столбцах:




1). а).

2). б).
Функция является _________________для функции ;

Функция является _________________для функции ;



2) Заполните таблицу, используя взаимосвязь между первообразной и производной

1).

1). 2). 2).3).

3). 4). 4).5).

5). 6). 6).

7).

7). 8). 8).




3) Каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы она была первообразной для функции на некотором промежутке (а, b)?

1). _______________

2). ________________

4) Запишите определение первообразной функции, заполнив пропуски:

Функция _____ называется первообразной для функции _____ на промежутке (а, b), если ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



5)Сколько первообразных может иметь одна функция ? _____________

Чем отличаются две первообразные одной функции? __________________



6) Могут ли две первообразные одной и той же функции отличаться:

а). на ? _______ , так как _______________

б). на ?________ , так как ________________

7) Сформулируйте определение неопределённого интеграла, заполнив пропуски:

Неопределённым интегралом функции называется ___________________________,

определённых на рассматриваемом промежутке.

8) Чем является неопределённый интеграл (нужное подчеркните):

числом, функцией, совокупностью функций.



9) Перечислите свойства неопределённого интеграла, заполнив правый столбец в таблице:

а. а.б. =б.в. =в.г. г.д. если д. Какие из перечисленных свойств аналогичны правилам дифференцирования?_____________



10) Как проверить результат интегрирования? ______________________________________

11) Докажите, что , заполнив пропуски:

1. =___________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Следовательно, функция является ___________________

для функции , поэтому семейство ___________________

является ______________________________________ для функции , т.е.

12) Проанализируйте ход вычисления интеграла и заполните пропуски.

Укажите в них выполненные действия и свойства, на основе которых осуществлена замена одного интеграла другим (используйте нумерацию свойств а)-д) из задания 9).

1). = 1) 2)2). 2) 3). 3) 4)

4). 4) 5)



5). = 13) Вычислите интегралы, записанные в столбце 1, заполнив пропуски в столбце

2. Запишите свойства, которые при этом использовали, в столбце 3. Проверьте результат с помощью дифференцирования.

Столбец 1 Столбец 2 Столбец 31).



___________



1)_______________________

2)_______________________

3)_______________________

4)_______________________2).



1)_______________________

2)_______________________

3)_______________________

4)_______________________


3).

1)_______________________

2)_______________________

3)_______________________
4). 1)_______________________14) В предыдущих заданиях Вы вычисляли интегралы с помощью таблицы основных интегралов, используя свойство неопределённого интеграла. Как называется такой метод

интегрирования?___________________________________________________________



15) Используя табличные интегралы и идею инвариантности, заполните пропуски, записав

после стрелки результат интегрирования:







16) Вычислите неопределенный интеграл, заполнив пропуски в правом столбце таблицы, и по семейству первообразных восстановите интеграл в левом столбце таблицы.

Неопределенный интеграл:Семейство первообразных:1). 1).2).

2). 3). 3).4).

4).



17) Проанализируйте ход вычисления интеграла:

Какое свойство интегралов и какой табличный интеграл здесь используются?__________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

18) Вычислите интегралы а) и б), выполнив предварительно указанные действия:

а). б). 1). Вынесите коэффициент перед

за знак интеграла:

1). Вынесите коэффициент перед

за знак интеграла:

2). Вычислите интеграл, используя

табличный интеграл:

2). Вычислите интеграл, используя

табличный интеграл:

ТДО1

1) Вычислите интегралы, записанные в столбце 1, выполнив необходимые действия в столбце 2, и запишите свойства, которые при этом использовали, в столбце 3.

Столбец 1 Столбец2 Столбец3

1)

2)

3)

4)

5)

2) Вычислите интегралы 1)-5) и для каждого из них после стрелки укажите соответствующий табличный интеграл (или несколько интегралов), который Вы использовали при вычислении:

1)


1)→

2)


2) →

3)
3) →

4)

4)→

Какое свойство неопределенных интегралов Вы использовали при выполнении задания? …...



3) Заполните пропуски, записав после стрелки результат интегрирования:

___________


_____

4) Вычислите интегралы 1)-3). Укажите свойство неопределенных интегралов, которые Вы при этом использовали:


Свойство:_______________________________________________________________________

Работа 3. Замена переменной в неопределённом интеграле
1) Запишите свойство дифференциала, на котором основан метод замены переменной в

неопределённом интеграле:_____________________________________________________

На основе этого свойства равенство остаётся справедливым

и в случае, когда промежуточный аргумент, т.е. .

Запишите соответствующее равенство при :___________________________________

2) Запишите формулу, по которой осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле: ______________________________________________________________________

3) Заполните пропуски:

Формула замены переменной в неопределённом интеграле позволяет свести вычисление интеграла ________________________ к вычислению интеграла ________________________

При этом мы подставляем вместо ________________переменную_________ , а вместо ______

дифференциал этой переменной, т.е. __________.



4) Продолжите предложение: «При вычислении интеграла целесообразно применение метода замены переменной, если:___________________________________________________

________________________________________________________________________________



5) В интеграле . . .dx вместо многоточия запишите такое выражение, чтобы целесообразно было сделать подстановку: .

6) Вычислите интегралы 1)-3), указав в скобках соответствующую замену:

1).

2).

3).



7)1)Для интегралов а)-б) укажите соответствующую замену:

а) замена:


б) замена:
2) Вычислите эти интегралы:

С помощью замены переменной:С помощью внесения под знак дифференциала: а).

б).

а).

б). 8) 1) Представьте дробь в виде суммы двух дробей:


2) Вычислите интеграл от каждого из полученных слагаемых. Укажите соответствующий метод.

Метод:________________________________



Метод:________________________________3) Укажите, чему равен интеграл: _____________________________

Какое свойство неопределённых интегралов Вы использовали при ответе на этот вопрос?_________________________________________________________________________
9) Проанализируйте ход вычисления интеграла:

и заполните пропуски. Укажите в них выполненные действия (методы) и свойства, на основе которых осуществлена замена одного интеграла другими:
1).

2). =

3). =

4).

5).

1). 2).________________________________

2). 3)._________________________________

3). 4)._________________________________

4). )._________________________________

10) При интегрировании некоторых видов иррациональных функций оказываются удобными тригонометрические подстановки. Для каждого из следующих видов интегралов укажите наиболее подходящую тригонометрическую подстановку:

а) (x= … или х= … )

б) (x= … или х= … )

в) (x= … или х= … )



11) Используя одну из подстановок, используемых в предыдущем задании, вычислите интегралы:

а).

б).

Какие известные тригонометрические формулы Вы использовали при вычислении этих интегралов (укажите название и саму формулу):

а). _____________________________________________________________________________

б)._____________________________________________________________________________



12) 1. Какая формула называется рекуррентной?______________________________________

Заполните пропуски:

Рекуррентная формула позволяет свести вычисление интеграла с индексом _____ к вычислению интеграла с индексом______

2. Используя рекуррентную формулу:



Вычислите интеграл:



3. Вычислите интеграл: сделав замену:





ТДО 2

1) Какое выражение следует написать в знаменателе подынтегральной функции интеграла , чтобы при его вычислении было целесообразно применение подстановки

2) Вычислите интегралы 1)-7), указав в скобках соответствующую замену:

1).

2).

3).


4).

5).

6).

7).


3) Установите соответствие между выражениями, записанными в столбцах 1-3, указав соответствующую букву:

1 столбец2 столбец3 столбец1).

2).

3).

4). а).

б).

в).

г).

д).

е).

ж). А).

Б).

В).

Г).

Д).

Е). Ответ: 1) … ) … )

2) … ) … )

3) … ) … )

4) … ) … )

Работа 4. Интегрирование по частям. Кольцевые интегралы
1) а) На каком правиле дифференцирования основан метод интегрирования по частям?____________________________________________________________________

б) Сколько раз можно применять этот метод при вычислении неопределенного интеграла?______________________________________________________________________



2) Запишите формулу интегрирования по частям в неопределённом интеграле:__________________________________________________________________
3) Заполните пропуски:

1).Если интеграл имеет вид или или где _____________________________________, то целесообразно за обозначить ________________

за -_________________________

2).Если интеграл имеет вид или или , то за следует принять ___________________________________________, за -____________________



4) Укажите, что нужно принять за , а что за в следующих интегралах:
а). в).
б). г).

д).


5) Вычислите следующие интегралы, используя метод интегрирования по частям:

1).

2).

3).

4).

5).



6) Вычислите интеграл, заполнив пропуски. Как называется такой интеграл?

_________________________________ = _____________________________________________

___________________________________________________________



_____________________________________________________________

=… +… .Это _________________________________интеграл.


7) Вычислите следующие интегралы, записав во 2-й столбец ход решения, а в 3-й столбец-

используемые методы интегрирования и пошаговые действия:

1столбец (интеграл)2 столбец (ход решения)2 столбец (методы интегрирования)1. ________________ _________

= _________________



_________________

___________________

1) 2):_________________


_______________________
2) 3)_________________

_______________________

3) 4)_________________

_______________________

4) 5)_________________

_______________________

5) 6)_________________

_______________________

2. _______________________

= _________________ ___________________________________________



__________________________

1) 2):_________________


_______________________
2) 3)_________________

_______________________

3) 4)_________________

_______________________

4) 5)_________________

_______________________


ТДО 3

1) Вычислите следующие интегралы, записав во второй столбец ход решения, а в третий столбец – используемые методы интегрирования:

1столбец - интеграл2 столбец – ход решения3 столбец – методы интегрирования1)

2)

3)

4)

5)

Какие из интегралов 1)-5) кольцевые?

2) Имеются три интеграла. Между первым и вторым существует взаимосвязь. Установите ее, и рассуждая аналогично, подберите из списка а) –г) четвертый интеграл, имеющий такую же связь с третьим.

1) 2) 3)

а) в)

б) г)

Ответ: ___________________________________________________________________________

3)Вычислите интеграл, выбранный в предыдущем задании. Укажите метод(ы) интегрирования.

Решение:

Метод:_____________________________________________________________________

КД 1

I. 1) Вычисляя интеграл = , два студента получили такие результаты, используя разные подстановки:

;

Т.к. оба студента считали свои вычисления верными, то они решили что:



= , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. В чём ошибка студентов? Вычислите этот интеграл.
=

2) Имеются три интеграла. Между первым и вторым существует взаимосвязь. Установите её и, рассуждая аналогично, подберите из списка а)-г) интеграл, имеющий такую же связь с третьим:

1). 2). 3).

а) б) в) г)

Вычислите выбранный интеграл.



II. При интегрировании функций часто применяют следующие методы:

а) интегрирования по частям б) замена переменной

Какой из методов а), б) представляется наиболее рациональным для вычисления интегралов 1)-8) из списка. Вычислите интегралы 6), 8).

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ; 7) ; 8)

1) _________; 2) _________; 3) _________; 4) _________; 5) _________;

6) _________; 7) _________; 8) _________.

6) =

8)

III. Вычислите интегралы. Укажите используемые методы интегрирования:

а)

Методы:

б)



Методы:
ОТВЕТЫ:

Ответы к ТДО1:

1) 1). ; 2). ; 3). 4). ;

5). ;



2) 1). 1). ;

2). 2). ;

3). ; 3). ;

4). ; 4). ;



Свойство: вынесение постоянной за знак неопределённого интеграла.

3) = ;

4) 1). 2). ; 3). ;

Свойство: если ;
Ответы к ТДО2:

1)

2) 1). ; 2). ; ; 3).

4). ; 5). ; 6). ;

7). .

3) 1) ж ) А)

2) г ) В )

3) в ) Е )

4) а ) Г )


Ответы к ТДО 3:

1) 1) ; 2) ; 3)

4) ; 5)



Метод: интегрирование по частям. Кольцевые интегралы: № 5

2) 3-а.

3)

Методы: 1) Интегрирование по частям; 2) Внесение под знак дифференциала (или замена ).

Ответы к КД 1:
I.1). ; студенты забыли о постоянной С, что привело к ошибке.

= или =

2). 3)-б); =
II. 1)-б; 2)-а; 3)-б; 4)-б; 5)-а; 6)-а; 7)-а; 8)-б;

6)

8) =
III. а) ; замена:

б) ; замена:



Методы: сначала замена переменной, затем интегрирование по частям.


скачать файл



Смотрите также:
«Неопределённый интеграл»
215.5kb.
Прием и порядок переведения работника
83.14kb.
Интеграл пуассона
56.46kb.
Закон сохранения электрического заряда как интеграл движения краевой нелинейной системы уравнений гидродинамики плазмы
19.25kb.
Интеграл Кирхгофа
17.94kb.
Неопределенный звук
510.39kb.
Особенности цен на современном этапе
203.98kb.
§ криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)
109.94kb.
Запишем разложение в ряд для cos
26.46kb.
«Определенный интеграл». Материалы Фестиваля педагогических идей «Открытый урок» 2010/2011 учебного года
39.09kb.
Ряды и интеграл фурье основные сведения
97.33kb.
Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Задача Дирихле. Интеграл Пуассона Уравнение Лапласа в декартовых и в полярных координатах
89.95kb.